数1の組み合わせについての質問です。誤答をしたのですが、なぜ間違えている

数1の組み合わせについての質問です。誤答をしたのですが、なぜ間違えているのか分かりません。

1から10の自然数から異なる3個を選ぶ。
少なくとも1つ偶数を選ぶ選び方は何通りあるか。
回答:
「3個中1個が偶数の組み合わせ」と「3個中1個の偶数が抜かれた残りの2個の組み合わせ」を、同時に起こっているから積の法則で求める。その方法だとすべての少なくとも1つが偶数の組み合わせを解けるだろう。

(5P1)/1・(9P2)/2=5・(9・8)/2=180(通り)

しかし、答えは110通りでした。
どこを間違えていてなぜそうなのかを教えてください。
him**

#1

まず質問者さんの回答は2つの大きな間違いがあります。
①すべて偶数のパターンが抜けている
②それぞれのパターンは同時には起こり得ない(独立試行である)ため、積ではなく和

質問者さんの式を添削するのであれば
①すべて偶数のとき 5C3=10通り
②2つ偶数のとき 5C2×5C1=50通り
③1つ偶数のとき 5C1×5C2=50通り
したがって10+50+50=110通り

ちなみに「少なくとも」と言われたら全体から「当てはまらない」を引く余事象の方法が一般的な解き方です。
(全体)10C3=120通り
(余事象)すべて奇数 5C3=10通り
したがって120-10=110通り

これなら場合分けも必要ありません。