Youtubeにあるゲームの公式チャンネルがアップしてるいる動画をダウン

そんなことはありません。
「公式チャンネルがアップしてるいる動画」だからといって、権利侵害なくアップロードされているとは限りません。

そのような揚げ足取りをしなくとも、ダウンロードの目的によっては許諾なくダウンロードするのは違法です。
例えば他人に見せるためにダウンロードするのは、ダウンロードという複製自体が権利の侵害となります。

ですので質問者様がお考えになっているような「違法では無い」状態にするには以下のような括弧内の条件が必要です。

ゲームの公式チャンネルが（合法に）アップしてるいる動画を（私的使用の目的で）ダウンロードするのは違法では無い