これらの要望を解決するために図や画像で接続状況を分かりやすく説明してくれ

これらの要望を解決するために図や画像で接続状況を分かりやすく説明してくれませんか?
・ASTRO MIX ampをPCに接続する。

・Nintendo Switchのゲーム音と自分の声を別々にして通話相手に送るためにPCでDiscordを利用。

Switchの画面をPCにキャプチャーボードというもので遅延なしで表示。
>ASTRO MIX ampをPCに接続する。
これは、USB一本でPCと繋げるだけなので何も難しくないので
問題ないとは思います。

>Nintendo Switchのゲーム音と自分の声を別々にして通話相手に送るためにPCでDiscordを利用。

これの、「ゲーム音と自分の声を別々にして通話相手に送る」
がよく理解できません。
分ける必要性と分けたとしてDiscordで送ったらどのみち混ざって相手に行くので意味が無いですが?
もう少し何をしたいか教えていただかないと解決できそうにないです。

>Switchの画面をPCにキャプチャーボードというもので遅延なしで表示

これは無理です。キャプボを通してPCに入れる時点でエンコードするので遅延は必ずします。無しは何を使用しても不可能です。
パススルーを使ってモニターに遅延なしで映す事は出来ますが。
PCに入れる事は出来ません。