1/xとπ/2-arctanxを大小比較してf(x)が短調減少になるので

1/xとπ/2-arctanxを大小比較してf(x)が短調減少になるので1/xの方が小さいと考えたのですが逆と書いてあります。どなたかご教示お願いします。

画像

f(x) の単調減少だけで、1/x と π/2 - arctanx の大小関係は判断できないと思います。x が大きくなるごとに 1/x と π/2 - arctanx との差が小さくなることしか分からないからです。

画像では単調減少の後に、f(x) の x→∞ の極限を確かめています。
f(x)が単調減少して0に近づくのであれば、確かにf(x)は常に正です。
f(x) > 0 より
1/x - (π/2 - arctanx) > 0
1/x > π/2 - arctanx

これであれば、1/xとπ/2 - arctanx の大小比較の根拠としては納得できます。